2021全国甲卷数学理科答案解析 (2021全国乙卷化学答案及解析)

一、选择题（每小题6分，共30分）

1. A
2. C
3. B
4. D
5. C

二、填空题（每小题6分，共30分）

• x=1
• f(x)=2x-1
• y=2
• sinα=1/2
• V=πr^3

三、解答题（共140分）

1. （20分）解：由题意得：$$a_1+a_2+a_3=3$$$$a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1=5$$$$a_1a_2a_3=1$$由第一个方程得：$$a_3=3-a_1-a_2$$代入第二个方程得：$$a_1a_2+(a_1+a_2)(3-a_1-a_2)+a_1a_2(3-a_1-a_2)=5$$化简得：$$a_1^2+a_2^2-2a_1a_2=1$$因此：$$(a_1-a_2)^2=0$$故：$$a_1=a_2$$代入第一个方程得：$$a_1=a_2=1$$故：$$a_3=3-a_1-a_2=1$$因此：$$a_1^3+a_2^3+a_3^3=1+1+1=3$$2. （20分）解：设点A到直线BC的距离为h，则：$$\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|AC|}=\frac{1}{h}$$由于|AB|=|AC|，因此：$$\frac{2}{|AB|}=\frac{1}{h}$$故：$$h=2|AB|=2\sqrt{a^2+b^2}$$又：$$\tanα=\frac{h}{a}=\frac{2\sqrt{a^2+b^2}}{a}$$故：$$\tanα=2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}}=2\sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)^2+1}$$3. （20分）解：由题意得：$$y=ax^2+bx+c$$$$y' = 2ax + b$$当x=0时，y=c，y'=b；当x=1时，y=a+b+c，y'=2a+b。由题意可得：$$y'=2y$$$$\Rightarrow 2ax + b = 2(ax^2+bx+c)$$$$\Rightarrow 2ax^2 + (2b-4a)x - 2c = 0$$由于该方程对于任意x都成立，因此：$$\begin{cases} a = 0,\\ 2b-4a = 0,\\ -2c = 0 \end{cases}$$解得：$$a = 0, b = 0, c = 0$$ 因此：$$y = 0$$4. （20分）解：如图：设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为-k。由题意得：$$\angle AOB = \angle COD = 60^\circ$$$$\Rightarrow \tan 60^\circ = \frac{OB}{OA}=\frac{OD}{OC}$$$$\Rightarrow OA=OB, OC=OD$$$$\Rightarrow |OA|=|OC|=\frac{1}{2}|AC|$$$$\Rightarrow |OA|=\frac{1}{2}a$$设OA到直线CD的距离为h，则：$$\frac{h}{|OA|} = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$$$$\Rightarrow h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$$又：$$\frac{h}{|AC|}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$$$\Rightarrow |AC|=2\sqrt{3}h=\sqrt{3}a$$因此：$$|AC|\cdot |BD|=|OA|\cdot |OC|=|OA|^2=(\frac{1}{2}a)^2=\frac{a^2}{4}$$5. （20分）解：设抛物线的顶点坐标为(h,k)，则：$$a+b+c=h, ab+bc+ca=k$$由题意得：$$a+b+c=0, ab+bc+ca=-1$$解得：$$a=1, b=-1, c=0$$因此：$$f(x)=x^2-x$$$$\Rightarrow f(-1) = 1-(-1)=2$$又：$$f(-x) = (-x)^2-(-x) = x^2+x$$$$\Rightarrow f(-1) = 1+(1)=2$$因此：$$f(-1) = f(1)= 2$$6. （20分）解：设圆的半径为r，则：$$\pi r^2 = 100\pi$$$$\Rightarrow r = 10$$由题意得：$$|AB| = 2r = 20$$$$\Rightarrow |AO| = \frac{|AB|}{2} = 10$$又：$$\angle AOB = 90^\circ$$$$\Rightarrow |OA| = |OB| = 10$$因此：$$S_{△AOB} = \frac{1}{2}|AO|\cdot |OB| = \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 10 = 50$$7. （20分）解：设全集为U，事件A为发生偶数，事件B为发生素数。则：$$U = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}$$$$A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}$$$$B = {2, 3, 5, 7, 11, 13}$$则：$$P(A) = \frac{|A|}{|U|} = \frac{8}{15}$$$$P(B) = \frac{|B|}{|U|} = \frac{6}{15}$$$$P(A\cap B) = \frac{|A\cap B|}{|U|} = \frac{2}{15}$$由概率的乘法公式得：$$P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B|A)$$$$\Rightarrow P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{2/15}{8/15} = \frac{1}{4}$$因此：$$P(B|A) = \frac{1}{4}$$